目录
0、数字信号处理系统：基本知识及框架
一、时域离散信号与时域离散系统
二、离散傅里叶变换（DFT）
三、离散傅里叶应用
四、快速傅里叶变换（FFT）
五、无限长单位脉冲相应（IIR）数字滤波器的设计
六、有限长单位脉冲相应（FIR）数字滤波器的设计
七、数字滤波器的实现
0、数字信号处理系统：基本知识及框架
1、数字信号中常常涉及 模拟频率、模拟角频率、数字频率 这三个频率的关系
模拟信号为余弦信号，其中表示模拟频率（单位Hz）
模拟角频率，其中表示模拟角频率（单位rad/s）
数字信号,其中为数字频率（单位rad）
因此就有模拟频率、模拟角频率、数字频率的关系为
其中时间T的关系为
2、模拟信号的理想采样：其中奈奎斯特采样定理表示 “采样频率必须大于信号最高频率的两倍，信号才能够不失真的还原出原信号。” 既，频率采集中
3、此外学习《数字信号处理》还需要一些数学公式准备：
三角函数的周期：
欧拉公式：
怕斯维尔（Parseval）定理：
等差数列求和：
等比数列求和：
复数计算：
，该复数取模（根据欧拉公式），得出
，单独计算cos和sin部分，得出a+jb形式
按照得出模值
分贝：
dB是一个比值的对数表示
分贝表示能量的增益、振幅
常常在高频电子中，回波损耗、插入损耗、发射功率、交调、天线增益的多少，当中用到dB
：电流、电压
：功率
一般给出增益值dB时，如K=20dB，那么根据分贝计算方式，该功率为
（若有补充的重点公式，后续将会更新）
一、时域离散信号与时域离散系统
1. 模拟信号、时域离散信号和数字信号
将模拟信号时域离散得到时域离散信号，例如模拟信号：
如果将它按照时间采样间隔T=0.005s进行等间隔取样，便得到时域离散信号x(n)，即
2. 常用的典型序列
单位脉冲序列δ(n)
单位阶跃序列
u
(n)
单位脉冲序列δ(n)可以看作两个单位阶跃序列u(n)的差分关系，既
单位阶跃序列u(n)可以看作无限多个单位脉冲序列δ(n)的求和关系，既
3、周期序列
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下式成立：
则称序列x(n)为周期性序列，周期为N
例如序列：显然有即此序列是周期为8的周期序列。
（因为(2作分子，/4作分母，=2*4）
正弦序列有以下三种情况：
条件
周期
例子
N
周期为16
P
周期为5
非周期
（无理数）
4、线性时不变系统（既满足叠加原理又满足时不变特性的系统）
线性系统：设
如果满足可加性
齐次性
则此系统为线性系统。
上面两式可合并成
时不变系统：
则系统为时不变系统
5. 单位脉冲响应与零状态响应
单位脉冲响应h(n)：输入x(n)=δ(n)时，系统的零状态响应称为系统的单位脉冲响应。
任意激励x(n)的零状态响应:
（式中的符号 “*” 代表线性卷积运算）
线性卷积的性质：交换律、结合律、分配律
交换律：位置可变
结合律：换括号乘一样
分配律：卷积可开括号
6、稳定系统
定义：如果对有界输入，系统产生的输出也是有界的，则称该系统具有稳定性，或称该系统为稳定系统。
线性时不变系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和，即
7、因果系统
定义：如果系统n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。
一个线性时不变系统为因果系统的充分必要条件是：
满足上式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位脉冲响应必然是因果序列。
8、时域取样定理
各信号取傅里叶变换：
则有
说明理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以Ωs为周期进行延拓而成的，幅度加权因子为 。
如果满足Ωs≥2Ωh，或者用频率表示该式，即满足fs≥2fh，基带谱与其它周期延拓形成的谱不重叠
9、时域离散信号的傅里叶变换（DTFT）
（1）序列x(n)的傅里叶变换DTFT（Discrete Time Fourier Transform）定义为
FT[x(n)]存在的充分条件是满足序列x(n)绝对可和的条件，即：
（2）傅里叶变换的周期性：
其中M为整数，所以序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。这一特点不同于模拟信号的傅里叶变换。
（3）时移与频移
设 ，那么时移
频移
根据时域卷积定理y(n)=x(n)*h(n) 则DTFT变换结果得
常用的时域离散信号的傅里叶变换（DTFT）对
序列离散时间傅里叶变换备注11
10、Z变换
（1）序列x(n)的双边Z变换定义为：式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面
（2）单边Z变换的定义：
（3）双边序列： ，其中
X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的交集。如果Rx+>Rx－，则其收敛域为Rx－<|z| （4）Z变换常用对 x（n）X(z)收敛域1整个Z平面 （5）Z变换性质 线性特性: 时移特性： 时域翻转定理： 时域卷积定理： (6)逆Z变换——部分分式展开法 设X(z)只有N个一阶极点，可展成下式: 例：设有一线性时不变因果系统，用差分方程描述 求这个系统的系统函数H(z)，并画出直接型结构图。 解：对差分方程两边取z变换，得 系统函数为，结构图有 11、频率响应函数与系统函数 系统对输入为单位脉冲序列δ(n)的零状态响应称为系统的单位脉冲响应h(n) 系统的 频率响应 函数 ： h ( n)的傅里叶变换。即 也称为系统的传输函数，它表征系统的频率响应特性。|H(ejω)| 称为幅频特性函数，称为相频特性函数。 系统函数H(z)定义：（z变换） 它表征了系统的复频域特性 如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，则H(ejω)与H(z)之间的关系有 12、用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 （1）因果系统的单位脉冲响应h(n)一定是因果序列 ，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点，极点分布在某个圆内，收敛域在某个圆外，注意：此圆不一定是单位圆 （2）系统稳定要求对照Z变换与傅里叶变换的关系可知，系统稳定要求H(z)的收敛域包含单位圆。 （3）如果系统因果且稳定，收敛域包含∞点和单位圆，那么收敛域可表示为r<|z|≤∞，且0 二、离散傅里叶变换（DFT） 1、有限长序列 和周期序列的关系 周期序列是有限长序列的周期延拓 有限长序列是周期序列的主值序列 2、DFS（离散傅里叶级数） 设序列x(n)的长度为M，其N(N≥M)点离散傅里叶变换（DFT）为 正变换 X(k)的离散傅里叶逆变换（IDFT）是 逆变换 其中 DFT与DFS的关系： 3、DFT与傅里叶变换和Z变换的关系 也可以看作序列的傅里叶变换在区间[0,2)上的N点等间隔抽样，其抽样间隔为2/N 对在单位圆上每间隔2/N弧度取值得到 三、离散傅里叶应用 1、利用DFT分析模拟信号频谱 模拟信号频谱失真原因及其应对措施 失真名称 失真原因 应对措施 第一次失真 频谱混叠 A/D采样 提高采样率 抗混叠滤波器 第二次失真 频谱泄露 时域截断 增加数据长度 改变加窗形状 第三次失真 栅栏效应 DFT运算 序列后面补零 提高分辨率的参数选择： （1）根据奈奎斯特采样定理， 或 ， 得出 （2）根据，， 得出有效数据点数N最少为 （3），得出有效数据时长 2、线性卷积与圆周卷积 线性卷积 ： 已知序列 h ( n ) 的长度为 N (0≤ n ≤ N -1) ， x ( n ) 的长度为 M (0≤ n ≤M-1) ，它们线性卷积为： 因此是有限长序列，其长度为N+M-1 圆周卷积：设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点圆周卷积定义为 式中， L 称为圆周卷积区间长度 ， L ≥max [N，M] 等于 以L为周期的周期延拓序列的主值序列。 即 当L≥N＋M－1时，圆周卷积等于线性卷积 注意： L 点的圆周卷积（或称为循环卷积）的长度就是 L 四、快速傅里叶变换（FFT） 此处省略快速傅里叶变化FFT的介绍 五、无限长单位脉冲相应（IIR）数字滤波器的设计 1、IIR数字滤波器特点 （1）单位脉冲响应h(n)是无限长的。 （2）系统函数H(z)可能存在原点之外的极点，不一定稳定。 （3）存在输入到输出的反馈，即结构是递归型的。 Ø直接I型—IIR数字滤波器系统函数为存在N条反馈支路 Ø 直接 Ⅱ型（典范型） — IIR数字滤波器系统函数为 Ø级联型—因为系统函数的系数均为实数，故零极点一定为实数或共轭对称复数。将系统函数按零、极点进行因式分解 因此级联型最大的优点是便于调整零极点 如：四阶节级联型系统 2、IIR数字滤波器设计 按频率特性分类 3、间接法设计IIR数字滤波器的步骤： （1） 根据需求确定待设计数字滤波器的技术指标； （2） 将数字滤波器的技术指标转换成相应的模拟滤波器的技术指标 （3） 设计相应的模拟滤波器。 （4）采用脉冲响应不变法或双线性变换法将模拟滤波器的系统函数Ha(s)转换为数字滤波器的系统函数H(z)。 脉冲响应不变法： 双线性变换法： 4、脉冲响应不变法（假设只有单阶极点） 用脉冲响应不变法将 数字滤波器系统函数 实际上则是 脉冲响应不变法的优点：（1）频率变换关系是线性的，即ω=ΩT（2），时域特性逼近好。 脉冲响应不变法的缺点：存在不同程度的频谱混叠失真，故不能用来设计高通、带阻滤波器 5、双线性变换法 使s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内 双线性变换法的优点：避免了频谱混叠现象； 双线性变换法的缺点：ω与Ω之间是非线性关系，使数字滤波器频响曲线不能保真地模仿模拟滤波器频响的曲线形状，因此只适合于分段常数频响特性滤波器的设计 六、有限长单位脉冲相应（FIR）数字滤波器的设计 1、FIR的特点 （1）FIR系统函数既有零点也有极点，且极点在原点，因此H(z)绝对稳定。 （2）FIR的相位特性可以是线性的，因此它有更广泛的应用，非线性FIR一般不作研究。 （3）单位脉冲响应h(n)为有限长，可以用FFT实现FIR DF，并且经延时，FIR DF总可以由因果系统实现 2、FIR数字滤波器特点 （1）单位脉冲响应h(n)是有限长的。 （2）系统函数H(z)只有z=0这个极点，因此一定是稳定的。 （3）系统函数H(z)没有除原点之外的极点，故没有并联型结构。 （4）一般不存在输出到输入的反馈，即结构是非递归型的，但在频率采样型结构中，也包含有递归结构。 Ø直接型（卷积型、横截型）—FIR数字滤波器系统函数为 结构流图： 该滤波器系统特点①需要N-1个延时单元，②N个乘法和N-1个加法 3、四类线性相位FIR数字滤波器特点 类型 h(n) N 幅度函数 零点 相位函数 适用范围 第1类 偶对称 奇数 第一类线性相位 低通、高通带通、带阻 第2类 偶数 低通、带通 第3类 奇对称 奇数 第二类线性相位 带通 第4类 偶数 高通、带通 4、窗函数法设计FIR滤波器的步骤 （1）根据具体的应用要求，确定待设计的FIR数字滤波器的技术指标 （2）根据对阻带衰减，选择窗函数的类型 （3）根据过渡带的宽度要求，确定窗口的长度N。注意：窗函数不同，过渡带宽度和阻带最小衰减不相等！ （4）构造希望逼近的频率响应函数，如低通滤波器 5、六种常见的窗函数 改变窗函数的长度可控制过渡带宽度，选择窗函数的形状可使阻带衰减增大 窗函数 窗谱性能 加窗后低通滤波器性能 主瓣宽度 旁瓣衰减（dB） 过渡带宽度 阻带最小衰减（dB） 矩形窗 4/N -13 1.8/N -21 三角形窗 8/N -25 6.1/N -25 汉宁窗 8/N -31 6.2/N -44 哈明窗 8/N -41 6.6/N -53 布莱克曼窗 12/N -57 11/N -74 凯泽窗 =7.865 -57 10/N -80 6、加窗对频响的影响 （1）在理想特性不连续点附近形成过渡带，其宽度近似等于的主瓣宽度 （2）通带内产生了波动，最大的峰值在处；阻带内也形成了余振，最大的负峰在 处。通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。变化越快，通带与阻带内波动也愈快， 而旁瓣的大小直接影响波动的大小 （3）吉布斯（Gibbs）效应，指增加窗的长度，过渡带变窄，振荡起伏变密，但滤波器的肩峰比保持8.95%不变。 ：吉布斯效应 七、数字滤波器的实现 1、数字滤波器结构 实现数字滤波器的基本运算单元：加法器、数乘器、单位延时器 根据前面所讲的IIR滤波器、FIR滤波器，数字滤波器系统函数为 用常系数差分方程表示为 2、数字滤波器的设计概述 数字滤波器设计的本质就是数学上的逼近，理想滤波器都是非因果系统，实际中需要设计对应的因果、稳定的系统去逼近理想滤波器的性能，同时也考虑系统复杂度和成本问题。设计步骤： Step 1 根据具体需求，确定待设计的数字滤波器技术指标； Step 2 选择滤波器类型，即选择IIR 或FIR滤波器； Step 3 设计数字滤波器，即计算滤波器的系统函数； Step 4 选择滤波器的实现结构； Step 5 用软件或硬件来实现数字滤波器。 3、滤波器的技术指标 （1）数字低通滤波器的幅频特性指标 （2）模拟低通滤波器的技术指标 （3）模拟滤波器的逼近方法 ①巴特沃斯滤波器（通带与阻带都是单调的） ②切比雪夫滤波器（通带与阻带只有一个是等波纹的，另一个是单调的） ③椭圆滤波器（通带与阻带都是等波纹的） 已完更！若有补充可以评论或后台私信 您的点赞、收藏＋关注就养活我一家老小了